Hàm sinh mô men là kỳ vọng của một hàm của biến ngẫu nhiên, nó có thể được viết dưới dạng:

• Đối với một hàm khối xác suất rời rạc, M X ( t ) = ∑ i = 0 ∞ e t x i p i {\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{i=0}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}}
• Đối với một hàm mật độ xác suất liên tục, M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x f ( x ) d x {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx}
• Trong trường hợp tổng quát: M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x d F ( x ) {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)} , sử dụng tích phân Riemann–Stieltjes, và trong đó F {\displaystyle F} là hàm phân phối tích lũy. Đây chỉ đơn giản là biến đổi Laplace-Stieltjes của F {\displaystyle F} , nhưng với dấu của đối số ngược lại.

Chú ý rằng đối với trường hợp mà X {\displaystyle X} có hàm mật độ xác suất liên tục f ( x ) {\displaystyle f(x)} , thì M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)} là biến đổi Laplace hai phía của f ( x ) {\displaystyle f(x)} .

M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ ( 1 + t x + t 2 x 2 2 ! + ⋯ + t n x n n ! + ⋯ ) f ( x ) d x = 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + ⋯ + t n m n n ! + ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {t^{n}x^{n}}{n!}}+\cdots \right)f(x)\,dx\\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}+\cdots ,\end{aligned}}}

trong đó m n {\displaystyle m_{n}} là mô men cấp thứ n {\displaystyle n} .

Biến đổi tuyến tính của các biến ngẫu nhiên

Nếu biến ngẫu nhiên X {\displaystyle X} có hàm sinh mô men M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} , thì α X + β {\displaystyle \alpha X+\beta } có hàm sinh mô men M α X + β ( t ) = e β t M X ( α t ) {\displaystyle M_{\alpha X+\beta }(t)=e^{\beta t}M_{X}(\alpha t)}

M α X + β ( t ) = E [ e ( α X + β ) t ] = e β t E [ e α X t ] = e β t M X ( α t ) {\displaystyle M_{\alpha X+\beta }(t)=E[e^{(\alpha X+\beta )t}]=e^{\beta t}E[e^{\alpha Xt}]=e^{\beta t}M_{X}(\alpha t)}

Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên độc lập

Nếu S n = ∑ i = 1 n a i X i {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}} , trong đó các Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập và các ai là hằng số, thì hàm mật độ xác suất của Sn là tích chập của các hàm mật độ tương ứng của mỗi Xi, và hàm sinh mô men của Sn được cho bởi:

M S n ( t ) = M X 1 ( a 1 t ) M X 2 ( a 2 t ) ⋯ M X n ( a n t ) . {\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)\,.}

Biến ngẫu nhiên giá trị vectơ

Đối với biến ngẫu nhiên giá trị vectơ X {\displaystyle \mathbf {X} } với các thành phần thực, hàm sinh mô men được cho bởi:

M X ( t ) = E ( e ⟨ t , X ⟩ ) {\displaystyle M_{X}(\mathbf {t} )=E\left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)}

trong đó t {\displaystyle \mathbf {t} } là một vectơ và ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } là tích vô hướng.